BARISAN DAN DERET
A. PENGERTIAN
Barisan
adalah susunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli. Untuk
setiap bilangan asli dapat ditentukan nilai suatu fungsi yang rumusnya
ditentukan. Rumus atau aturan itu menentukan jenis barisannya. Setiap titik
hasil pemetaan pada fungsi itu disebut suku barisan tersebut. Peta dari
bilangan asli n dinamakan suku ke-n yang dalam barisan itu menempati urutan
ke-n. Suku ke-n dari barisan dapat ditulis .
Bentuk umum dari sebuah barisan :
Contoh :
a. 2, 6 , 10 , 14 , …..
Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4”
Tiga suku berikutnya adalah 18 , 22 dan 26
b. 1 , 2 , 5 , 10 , …..
Aturan pembentukannya adalah “ditambah
bilangan gasal berurutan”
Tiga suku berikutnya adalah 17 , 29 dan 40
c. 1 , 2 ,
4 , 8 , ……
Aturan pembentukannya adalah “dikalikan 2”
Tiga suku berikutnya adalah 16 , 32 dan 64
d. 81 , 27
, 9 , 3 , …..
Aturan pembentukannya adalah “dibagi 3”
Tiga suku berikutnya adalah 1 , dan
Deret
adalah penjumlahan dari suku-suku barisan dari suku pertama sampai suku ke-n,
yaitu :
Contoh :
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …..
b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
c. 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + …..
d. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …..
e. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ….
B. BARISAN
Untuk
menentukan suku ke-n dari sebuah barisan dengan aturan ditambah bilangan yang
sama dapat dilihat pada contoh berikut :
a. 5 , 8 , 11 , 14 , ……
5 = 3 x 1 +
2
8 = 3 x 2 +
2
11 = 3 x 3
+ 2
Jadi = 3 x n + 2 = 3n + 2
b. 2 , 8 ,
14 , 20 , …….
2 = 6 x 1 -
4
8 = 6 x 2 -
4
14 = 6 x 3
- 4
Jadi = 6 x n - 4 = 6n – 4
Untuk
menentukan suku ke-n dari sebuah barisan dengan aturan dikali atau dipangkatkan
dapat dilihat pada contoh berikut :
a. 2 , 4 , 8 , 16 , ……
Jadi
b. 4 , 9 , 16 ,
25 , …….
Jadi
C. DERET
Barisan
dinyatakan dengan dan deret yang bersesuaian
dinyatakan dengan Pada suatu deret, jika selisih dua suku yang berurutan sama
atau tetap, yaitu maka deret tersebut
disebut deret aritmetika atau deret
hitung. Selisih yang sama ini
disebut beda.
Contoh :
a. 5 + 7 + 9 + 11 + ….. merupakan deret aritmetika dengan beda = 3
b. 3 + 1 + (-1) + (-3) …. merupakan deret aritmetika dengan beda = -2
Untuk
menentukan suku ke-n dari deret aritmetika
dengan beda
= b dapat ditentukan sebagai berikut
:
……………..
Sehingga diperoleh dengan n banyak suku
Contoh :
Diketahui deret
aritmetika 8 + 4 + 0 + (-4) + (-8) + ….
Tentukan suku
ke-15 ?
dan sehingga
sehingga
Untuk
menentukan jumlah n suku pertama dari
deret aritmetika yang dinyatakan dengan dapat ditentukan sebagai berikut :
______________________________________________________________ +
Sehingga
Contoh :
Tentukan jumlah 35
suku pertama dari deret aritmetika 207 + 204 + 201 + 198 + …..
n = 35 dan b = 204 – 207 = -3
Suatu
deret yang mempunyai perbandingan dari dua suku yang berurutan tetap, yaitu maka deret tersebut
disebut deret geometri atau deret
ukur. Perbandingan yang tetap ini disebut rasio.
Contoh :
a. 3 + 9 + 27 + 81 + ……. merupakan deret geometri dengan rasio =
3
b. merupakan deret geometri dengan
rasio =
Untuk
menentukan suku ke-n dari deret geometri
dengan rasio = r dapat ditentukan sebagai berikut :
……………….
Sehingga
diperoleh dengan n banyak suku
Contoh :
Diketahui deret
geometri 81 + 27 + 9 + 3 + ….
Tentukan suku
ke-6 ?
dan sehingga
sehingga
Untuk
menentukan jumlah n suku pertama dari
deret geometri yang dinyatakan dengan dapat ditentukan sebagai berikut :
………..(1)
…………………………………………(2)
Jika persamaan (2)
dikurangi persamaan(1) akan diperoleh
atau sehingga
Jika persamaan (1)
dikurangi persamaan(2) akan diperoleh
atau sehingga
Contoh :
Tentukan
jumlah deret geometri 27 + 9 + 3 + …..+ !
dan dan
sehingga
sehingga
atau
sehingga nilai n – 1 = 7 atau n =
8
D.
Latihan
- Jika adalah jumlah suku pertama suatu deret aritmetika maka suku ke sepuluh deret tersebut adalah ....
- Diketahui membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmetika maka suku ke tiga harus ditambah dengan ....
- Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40 maka sisi siku-siku yang terpendek sama dengan ......
- Antara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan, sehinga bersama kedua bilangan tersebut terjadi deret aritmetika. Maka jumlah deret aritmetika yang terjadi adalah ..........
- Jika dari suatu deret geometri diketahui dan maka
- Pada sebuah kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar pada bulan ke 2 dan murid baru yang mendaftar pada bulan ke 4 berjumlah 20 orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke 5 dan ke 6 berjumlah 40 orang. Jumlah semua murid kursus tersebut dalam 10 bulan pertama adalah .......
- Jumlah 10 suku pertama dari deret adalah ....
- Akar-akar dari adalah dan yang semuanya positip serta . Agar , dan berturut-turut suku pertama, suku kedua dan suku ketiga dari deret aritmetika maka nilai
- Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Jika tali terpendek adalah 4 cm dan tali terpanjang adalah 108 cm maka panjang tali semula ........
- Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 adalah ...
- Hasil kali suku ke dua dan suku ke empat dari suatu barisan geometri yang semua suku-sukunya positip adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama adalah 7 maka suku pertamanya adalah .......
- Jika jumlah tak hingga deret adalah maka nilai
- Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke 1, ke 2 dan ke 6 merupakan barisan geometri. Jumlah ketiga suku tersebut adalah 42. Maka beda barisan aritmetika tersebut adalah .....
- Jika suku pertama barisan geometri , suku keempat dan suku kesepuluh maka nilai
- Jumlah suatu deret geometri tak hingga sama dengan dua kali suku pertamanya dan jumlah empat suku awalnya adalah . Maka jumlah deret tersebut adalah .....
- Suku-suku suatu barisan geometri tak hingga adalah positip. Jumlah suku dan . Jumlah tak hingga deret tersebut ....
- Jumlah suku pertama suatu deret adalah . Jumlah suku ke 5, 6,7 dan 8 adalah .....
- adalah suku ke dari suatu deret aritmetika. Jika suku pertama deret itu 100 dan untuk setiap maka jumlah semua suku deret itu yang bernilai positip adalah .....
- adalah jumlah suku pertama deret aritmetika. Jika dan adalah suku pertama deret tersebut maka beda deret aritmetika tersebut adalah ....
- Diketahui deret geometri Jika dan maka nilai